التطبيقات الثالث متوسط الفصل الاول

تحميل شروحات الفصل الاول التطبيقات الثالث متوسط
تنفيذ ةطباعة الاستاذ القدير محمد البدري خصيصاً للمنتدى عشاق وعاشقات اهل البيت عليهم السلام
الفصل الاول
التطبيقات mappings
...............................................................................................................................

سبق وأن درست العلاقة (relation) وهي مجموعة عناصرها ازواج مرتبة (x,y) حيث x يمثل المسقط الاول للزوج المرتب ، y المسقط الثاني وبصورة رياضية نعبر عن العلاقة r من المجموعة A الى B بالشكل الاتي :
لتكن وتقرأ ( علاقة من A الى B )
ولتكن و

لاحظ ان كل عنصر من المجموعة A التي تسمى بالمجال يقترن بعنصر وحيد في المجموعة B التي تسمى بالمجال المقابل كما في الشكل الاتي :
B r A
1
2
3
4
a
b
c
d






من خلال هذا المخطط السهمي هناك سهم واحد فقط ينطلق من كل عنصر في المجموعة A ليرتبط مع عنصر واحد من مجموعة B
تعريف : التطبيق r هو علاقة من المجموعة A الى المجموعة B بحيث ان كل عنصر من عناصر المجال A يقترن او يرتبط بعنصر واحد فقط من عناصر المجال المقابل B ضمن قاعدة الاقتران اي :

* لكل عنصر من المجال صورة في المجال المقابل تحت تأثير التطبيق ومجموعة هذه الصور هي مجموعة تسمى المدى (Range) وهي مجموعة جزئية من المجال المقابل .






مثال / لتكن



1 ) هل تمثل تطبيقاً ؟ مع ذكر السبب .
2 ) مثله بمخطط سهمي .
الحل / 1 ) لاتمثل تطبيقاً
لان ليس له صورة (اي لم يرتبط بأي عنصر في المجال المقابل B
2 )
a b c d


e f g

مثال / اذا كانت و
f تطبيق معرف كالاتي :
حيث ان :
اكتب التطبيق f على شكل ازواج مرتبة .
مثله بمخطط سهمي .
اوجد مدى التطبيق .
الحل / a ) لاحظ هنا ان تمثل قاعدة الاقتران ويمكن التعبير عنها بالشكل الاتي :

نعوض عن قيمة x ( عنصر في المجال) في قاعدة الاقتران () لنحصل على صور x () في المجال المقابل وكما يأتي :




وتكتب على شكل ازواج مرتبه بالشكل :



b) B A
2 1
3 2
-2
-4 -3

C ) مدى التطبيق (هو جميع صور عناصر المجال )
المدى

ملاحظة / يمكن التعبير عن التطبيق بأحد الحروف التالية مع ذكر المجال والمجال المقابل
وقاعدة الاقتران او بذكر التطبيق بشكل ازواج مرتبة وبدون ذكر قاعدة الاقتران .


* المدى هو مجموعة جزئية من المجال المقابل

مثال / اذا كانت حيث ( Q مجوعة الاعداد النسبية)

اوجد :
مدى التطبيق
ارسم المخطط السهمي
اكتب التطبيق بذكر عناصره
الحل / a) لايجاد المدى يجب استخراج صور عناصر المجال وذلك بتعويض كل عنصر في المجال
في قاعدة الاقتران وكما يأتي :







b) B g A
-1 -3
1
2 0
-3 5

اكتب التطبيق بذكر عناصره (على شكل ازواج مرتبة)

* يمكن صياغة هذا المثال بشكل اخر :
اذا كان وكانت
جد 1) مدى التطبيق 2) ارسم المخطط السهمي للتطبيق
الحل / اذا وجد التطبيق بذكر عناصره (ازواج مرتبة) اذن لا حاجة لذكر قاعدة الاقتران
من عناصر التطبيق يمكن ايجاد المجال والمجال المقابل حيث ان المسقط الاول يمثل عناصر المجال
والمسقط الثاني يمثل الصور في المجال المقابل وكما يأتي :
1) (صورة 1 هي -3)




2) B g A
-1 -3
1
2 0
-3 5
مثال / اذا كان فجد قيمة عندما ,
حيث مجموعة الاعداد النسبية .
الحل / هنا يعطي قاعدة الاقترانولايذكر كل من المجال والمجال المقابل
ولكن هنا يعطي قيمه للتطبيق




اي ان :

مثال / اذا كانت A مجموعة الاعداد الطبيعية الاصغر من 5 وكانت
حيث مجموعة الاعداد الصحيحة . جد مدى التطبيق اذا كان
..................................................................................................................................
تمارين (1-1)
س1 / اذا كان وكانت


اولاً : هل ان تطبيق ؟ ولماذا ثانياً : ارسم المخطط السهمي
الحل / تمثل تطبيق لان لان كل عنصر في A (المجال) ارتبط بعنصر واحد من B (المجال المقابل)
A B A B

3 3
4 a 4 a
5 b 5 b
6 c 6 c
7 7

س2 / اذا كانت A مجموعة الاعداد الطبيعية الزوجية الاصغر من 7 وكانت B مجموعة الاعداد الطبيعية
الفردية الاصغر من 8 تطبيق من A الى B مُعرف (يزيد بمقدارواحد)
اولاً : ارسم المخطط السهمي ثانياً : هل تطبيق ؟ لماذا
الحل / أولاً :
f تطبيق من A الى B مُعَرف (يزيد بمقدار واحد)
اي ان كل عنصر x من المجال A يزيد بمقدار 1





ثانياً : تمثل تطبيق من A الى B
لان كل عنصر من المجال ارتبط بعنصر وحيد
من المجال المقابل

1 2
3 4
5 6
7
س3 / اذا كانت جد مدى التطبيق اذا كان
الحل / لايجاد المدى يجب استخراج صور جميع عناصر المجال

(صورة 1 هي 2 تحت تاثير التطبيق )




س5/ اذا كان حيث
أولاً: اكتب مدى التطبيق ثانياً: اذا كان فجد قيمة
ثالثاً: اكتب مجموعة الازواج المرتبة التي تمثل التطبيق (عناصر التطبيق)
الحل / اولاً :



* بما ان المجال هو N (مجموعة الاعداد)اي مجموعة
غير منتهيه لذا سنختار بعض الاعداد منها لايجاد
صورها مثلا من 0 الى 3 لانها مجموعة غير منتهيه
وستكون الصور غير منتهية لذا وضعنا المدى على
شكل مجموعة غير منتهية .

ثانياً :

بأضافة النظير الجمعي للعدد 8
بقسمة الطرفين على


ثالثاً :
س6 / اذا كانت حيث
اولاً: جد كلاً من ثانياً: اكتب مدى التطبيق ثالثاً: ارسم المخطط السهمي
الحل / اولاً: حسب تعريف التطبيق

ثانيا: المدى = جميع صور عناصر المجال A (المدى = B )
Range
ثالثاً:
1 2 3 4 5 A


a b c d B


س7 / إذا كان حيث ان و
أولا: اكتب المدى ثانياً: اكتب مجموعة الأزواج المرتبة ثالثاً: ارسم المخطط السهمي
الحل / أولاً:




ثانياً:


ثالثاً:

1 -1 0 A



3 …. 4 …… 6….. ....

..................................................................................................................................
نوع التطبيق
............................
أولاً: التطبيق الشامل (Surjective mapping)
يكون التطبيق تطبيقاً شاملاً اذا تحقق الشرط الاتي :
كل عنصر من المجموعة B هو صور ة لعنصر واحد أو أكثر من عناصر المجموعة A


أي أن : المدى = المجال المقابل


* يكون التطبيق غير شاملاً اذا وَجِد عنصر من عناصر المجال المقابل ليس صورة لأي عنصر من
عناصر المجال المقابل


أي أن : المدى المجال المقابل


مثال / حدد اي المخططات السهميه التالية تمثل تطبيق شامل ؟

B A B A

-3 -1 e a
0 2 f b
3 5 g c
4 h d

لا يمثل تطبيقاً شاملاً لان 4 ليست صورة تطبيق شامل (تحقق الشرط)
لعنصر في المجال (المدى المجال المقابل)

مثال / حيث
وان هل f تطبيق شامل ؟

الحل / حتى يكون التطبيق شاملاً يجب ان يكون المدى = المجال المقابل
المدى =
ولكن المجال المقابل = = B
اذن المدى = المجال المقابل
f تطبيق شامل (تحقق الشرط)

مثال / حيث هل f تطبيق شامل ؟

الحل /








أي أن : المدى المجال المقابل N
f تطبيق غير شامل






مثال / , هل ان f تطبيق شامل ؟

الحل /
0 1 2 3 ……


0 1 2 5 8 11 ……

f تطبيق غير شامل (لأن المدى المجال المقابل N)
...................................................................................................
ثانياً: التطبيق المتباين (Injective mapping)


يكون التطبيق متبايناً اذا تحقق الشرط الاتي :
لأي عنصرين مختلفين من المجال تكون صورتهما مختلفتين
1)
أو اذا تساوت صورتا عنصرين في المجال كانا هذان العنصران متساويين
2)